Question

【題目】如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點．

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】證明：(1）如圖所示，取PD的中點E，連接AE、NE，

∵N為PC的中點，E為PD的中點，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD

且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形，

∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.

(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形，

又E為PD的中點，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.