Question

已知函數f（x）=

7x+5

x+1

，數列{a_n}滿足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．數列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）．
（1）求證：數列{

1

an

}是等差數列；
（2）求數列{|b_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，由此能夠證明數列是等差數列．
（2）由b₁=f（0）=5可求得a₁，進而由（1）可求得a_n，由b_n=f（a_n-1）可得b_n．討論b_n的符號，然后借助等差數列的求和公式可求得T_n．

解答：解：（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴數列{

1

an

}是等差數列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，即7a₁-2=5a₁，解得a₁=1，∴

1

an

=1+(n-1)×

1

2

=

1

2

(n+1)，
∴an=

2

n+1

．
∴bn=

7an-2

an

=7-（n+1）=6-n．
∴{b_n}是首項為5，公差為-1的等差數列，
當n≤6時，b_n≥0，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
當n≥7時，b_n＜0．
T_n=b₁+b₂+…+b₆-b₇-…-b_n
=2（b₁+…+b₆）-（b₁+…+b_n）
=30-

n(11-n)

2

=

n2-11n+60

2

；
∴Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n≥7

．

點評：本題考查數列與函數的綜合、由遞推式求數列通項、數列求和等知識，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力．