Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A，B兩點．若動點M滿足（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；

Answer 1

【答案】分析：由題意知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則，，，，由得，AB的中點坐標．當AB不垂直于x軸時，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線x²-y²=2上，知（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，由此可知點M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．
解答：解：由題意知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則，，，，
由得，
∴AB的中點坐標．
當AB不垂直于x軸時，，①
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線x²-y²=2上，
∴x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
∴（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，②
由①②聯(lián)立，知（x-6）²-y²=4．
當AB垂直于x軸時，x₁=x₂=2，求得M（8，0）也滿足上求方程，
∴點M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．