Question

若函數f（x）為定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f（x）=lnx+2x-6，
（1）求f（x）的解析式；
（2）試判斷f（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的性質f（x）=-f（-x），f（0）=0即可得出；
（2）當x＞0時，函數f（x）=lnx+2x-6單調遞增，且f（2）＜0，f（3）＞0，利用函數零點判定定理即可得出．再利用奇函數的性質即可得出當x＜0時零點的個數，進而得到函數f（x）零點的個數．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0．
∴f（x）=-f（-x）=-[ln（-x）-2x-6]=-ln（-x）+2x+6．
又f（0）=0．
∴f（x）=

lnx+2x-6，x＞0 0，x=0 -ln(-x)+2x+6，x＜0

．
（2）∵當x＞0時，函數f（x）=lnx+2x-6單調遞增，
且f（2）=ln2+2×2-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3+6-6=ln3＞0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上存在唯一零點．
同理：當x＜0時，在（-∞，0）上也存在唯一零點．
綜上可知：f（x）的零點個數為3．

點評：本題考查了函數的奇偶性、函數的零點判定定理，屬于中檔題．