Question

點P到點A（1，0）和直線x=-1的距離相等，且點P到直線y=x的距離等于，這樣的點P的個數為    ．

Answer 1

【答案】分析：P的軌跡是以F為焦點的拋物線，并且軌跡方程為y²=4x．利用直線與平穩性的位置關系求出其切線方程為y=x+1，得到兩條平行直線y=x，y=x+1之間的距離為：．又根據題意可得：拋物線與直線y=x相交，進而得到點P到直線y=x的距離等于的點有3個．
解答：解：因為點P到點A（1，0）和直線x=-1的距離相等，
所以由拋物線的定義知：P的軌跡是以F為焦點的拋物線，并且p=1，
所以點P的方程為y²=4x．
設直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，則聯立直線與拋物線的方程可得：x²+2（b-2）x+b²=0，
所以△=4（b-2）²4b²=0，解得：b=1．
所以切線方程為y=x+1，所以兩條平行直線y=x，y=x+1之間的距離為：．
又根據題意可得：拋物線與直線y=x相交，
所以P到直線y=x的距離等于的點有3個．
故答案為3．
點評：本題考查拋物線定義及標準方程，以及直線與拋物線的位置關系，并且也考查了兩條平行線之間的距離公式，解題時要認真審題，仔細解答．