Question

已知雙曲線與點P(1,2),過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點,若P為AB的中點.

(1)求直線AB的方程;

(2)若Q(1,1),證明不存在以Q為中點的弦.

Answer 1

(1)解:設過P（1,2）點的直線AB的方程為y-2=k(x-1),??

代入雙曲線方程并整理,得?

(2-k²)x²+(2k²-4k)x-(k²-4k+6)=0.?

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),?

則x₁+x₂=-.?

由已知,?

∴,解得k=1.?

又k=1時,Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16＞0,?

∴直線AB的方程為x-y+1=0.

(2)證明:設過Q(1,1)點的直線方程為?

y-1=k(x-1),?

代入雙曲線方程并整理,得?

(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0.?

由題知,解得k=2.?

而當k=2時,Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-62＜0,?

∴這樣的直線不存在.