Question

已知雙曲線與點(diǎn)P(1,2),過(guò)P點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若P為AB的中點(diǎn).

(1)求直線AB的方程;

(2)若Q(1,1),證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦.

Answer 1

(1)解:設(shè)過(guò)P(1,2)點(diǎn)的直線AB的方程為y-2=k(x-1),

代入雙曲線方程并整理,得(2-k²)x²+(2k²-4k)x-(k²-4k+6)=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則.

由已知,

∴,解得k=1.

又k=1時(shí),Δ=(2k²-4k)²+4(2-k²)(k²-4k+6)=16＞0,

所以直線AB的方程為x-y+1=0.

(2)證明:設(shè)過(guò)Q(1,1)點(diǎn)的直線方程為y-1=k(x-1),

代入雙曲線方程并整理,得(2-k²)x²-2k(1-k)x-(k²-2k+3)=0.

由題知,解得k=2.

而當(dāng)k=2時(shí),Δ=［-2k(1-k)］²+4(2-k²)(k²-2k+3)=-62＜0,

∴這樣的直線不存在.