Question

若不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對任意實數x恒成立，則實數t的取值范圍是（　　）

• A、（-1，+∞）
• B、[-1，+∞）
• C、（1，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：令m=sin²x（0≤m≤1），則有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對任意實數x恒成立，即為m²-tm-2＜0對0≤m≤1恒成立，討論m=0，0＜m≤1時，運用參數分離，得t＞m-

2

m

，運用單調性，只要求出右邊的最大值即可．

解答：解：令m=sin²x（0≤m≤1），
則有不等式sin⁴x-tsin²x-2＜0對任意實數x恒成立，
即為m²-tm-2＜0對0≤m≤1恒成立，
當m=0時，顯然成立；
當0＜m≤1時，不等式即為t＞m-

2

m

，
由于m-

2

m

在（0，1]遞增，當m=1時，取得最大值1-2=-1，
則t＞-1．
則有實數t的取值范圍是（-1，+∞）．
故選A．

點評：本題考查不等式的恒成立問題，注意運用換元法，考慮正弦函數的值域，考查函數的最值求法：運用單調性，考查運算能力，屬于中檔題．