Question

如圖，A₁A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)，AA₁=AB=2。

（1）求證：平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱錐A₁-ABC的體積的最大值。

Answer 1

（1）證明：∵C是底面圓周上異于A，B的一點(diǎn)，且AB是圓柱底面圓的直徑，
∴BC⊥AC，
∵⊥平面ABC，平面ABC，
∴⊥BC，
又，平面，平面，
∴BC⊥平面，
∵平面，
∴平面⊥平面。
（2）解：在中，，

，
當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，
∴三棱錐的體積的最大值為。