Question

（本小題滿分12分）(注意:在試題卷上作答無效)

在四棱錐中，側面底面，，底面是直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設為側棱上一點，，

試確定的值，使得二面角為.

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分     

   所以,  .……2分

如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則………3分

，，

所以，，……………4分

又由平面，可得，所以平面.……………6分

（Ⅱ）平面的法向量為，…………………………………………7分

，，

所以， ………………………………………………………………8分

設平面的法向量為，，，

由，，得

所以，，………………………………………………….……9分

所以，………………………………………………………….…10分

所以，……………………...……11分

注意到，得.   …………………………….………………12分   

 

法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD

∴PD⊥面ABCD，………1分  又BC面ABCD，∴BC⊥PD    ①…. .…..……2分

取CD中點E，連結BE，則BE⊥CD，且BE=1

在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分

∵, ∴BC⊥BD   ②………………...……5分

由①、②且PD∩BD=D

∴BC⊥面PBD.            ……….………………………………………….…...……6分

（Ⅱ）過Q作QF//BC交PB于F，過F作FG⊥BD于G，連結 GQ.

∵BC⊥面PBD，QF//BC

∴QF⊥面PBD，∴FG為QG在面PBD上的射影，

又∵BD⊥FG  ∴BD⊥QG

∴∠FGQ為二面角Q-BD-P的平面角；由題意，∠FGQ=45°. …………….…...……8分

設PQ=x，易知

∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴………………..…...……10分

在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°

∴FQ=FG，即   ∴……..….........……11分

∵    ∴      ∴……..…............……12分

 

【解析】略