Question

已知平面直角坐標系下的一列點P_n（a_n，b_n）滿足，且．
（Ⅰ） 求點P₂坐標，并寫出過點P₁，P₂的直線L的方程；
（Ⅱ） 猜想點P_n（n≥2）與直線L的位置關系，并加以證明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，，，由此能求出過點P₁，P₂直線L的方程．
（Ⅱ）由P₂坐標為（）得，所以點P₃∈L，猜想點P_n（n≥3，n∈N）在直線L上，再用數學歸納法證明．
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，知a_n≠0，a_n≠±1，所以，是等差數列，由此入手能夠導出的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，，
∴P₂坐標為（），（2分）
∴過點P₁，P₂直線L的方程為x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P₂坐標為（）得，
∴點P₃∈L，
猜想點P_n（n≥3，n∈N）在直線L上，以下用數學歸納法證明：
當n=3時，點P₃∈L，（5分）
假設當n=k（k≥2）時，命題成立，即點P_k∈L，
∴a_k+b_k=1，（6分）
則當n=k+1時，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=，（7分）
∴點P_n∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，
∴a_n≠0，a_n≠±1，
∴，
∴，
∴是等差數列，
∴，（9分）
∴，
∵c_n+1=b_nc_n，
∴，
=，（10分）
∴（11分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=+（）]
=，
∴=
==．（12分）
點評：本題考查數列和解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．