已知二次函數f(x)滿足:①當x=1時有極值;②圖象與y軸交點的縱坐標為﹣3,且在該點處的切線與直線x=2y﹣4垂直.
(1)求f(1)的值;
(2)若函數g(x)=f(lnx),x∈(1,+∞)上任意一點處的切線斜率恒大于a2﹣a﹣2,求實數a的取值范圍.
(I)-4;(II)0≤a≤1.
解析試題分析:(1)由已知可利用待定系數法,首先設二次函數f(x)的解析式為:f(x)=ax2+bx+c,,結合已知的兩個條件及導數的幾何意義,求出f(x)的表達式,從而可求f(1)的值;
(2)首先求出g(x)的表達式,利用導數求出切線斜率,結合一元二次不等式的解法即可得到結論.
試題解析:(1)設二次函數f(x)=ax2+bx+c,
∵x=1時有極值,∴對稱軸為1,即,
由②知f(0)=c=-3,在(0,-3)處的切線斜率,
又在該點處的切線與直線x=2y-4垂直,故b=-2,
解得a=1,則f(x)=x2-2x-3,
則f(1)=-4;
(2)若函數g(x)=f(lnx)=(lnx)2-2lnx-3,
令t=lnx,
則∵x∈(1,+∞),∴t∈(0,+∞),
∴f(t)=t2-2t-3,f′(t)=2t-2>-2,
若函數g(x)=f(lnx),x∈(1,+∞)上任意一點處的切線斜率恒大于a2-a-2,
則f′(t)>a2-a-2恒成立,即a2-a-2≤-2,
即a2-a≤0,解得0≤a≤1.
考點:1.二次函數的圖象和性質;2.導數的幾何意義.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
制定投資計劃時,不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個項目.根據預測,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損分別為30%和10%.投資人計劃投資金額不超過10萬元,要求確?赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某工廠生產一種產品的原材料費為每件40元,若用x表示該廠生產這種產品的總件數,則電力與機器保養等費用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產品的成本費P(x)(元)表示成產品件數x的函數,并求每件產品的最低成本費;
(2)如果該廠生產的這種產品的數量x不超過3000件,且產品能全部銷售,根據市場調查:每件產品的銷售價Q(x)與產品件數x有如下關系:Q(x)=170-0.05x,試問生產多少件產品時,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總成本)
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
給出下列四個命題:
①函數(
且
)與函數
(
且
)的定義域相同;
②函數與
的值域相同;③函數
與
都是奇函數;④
函數與
在區間
上都是增函數,其中正確命題的序號是_____________。(把你認為正確的命題序號都填上)
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