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已知二次函數f(x)滿足:①當x=1時有極值;②圖象與y軸交點的縱坐標為﹣3,且在該點處的切線與直線x=2y﹣4垂直.
(1)求f(1)的值;
(2)若函數g(x)=f(lnx),x∈(1,+∞)上任意一點處的切線斜率恒大于a2﹣a﹣2,求實數a的取值范圍.

(I)-4;(II)0≤a≤1.

解析試題分析:(1)由已知可利用待定系數法,首先設二次函數f(x)的解析式為:f(x)=ax2+bx+c,,結合已知的兩個條件及導數的幾何意義,求出f(x)的表達式,從而可求f(1)的值;
(2)首先求出g(x)的表達式,利用導數求出切線斜率,結合一元二次不等式的解法即可得到結論.
試題解析:(1)設二次函數f(x)=ax2+bx+c,
∵x=1時有極值,∴對稱軸為1,即,
由②知f(0)=c=-3,在(0,-3)處的切線斜率,
又在該點處的切線與直線x=2y-4垂直,故b=-2,
解得a=1,則f(x)=x2-2x-3,
則f(1)=-4;
(2)若函數g(x)=f(lnx)=(lnx)2-2lnx-3,
令t=lnx,
則∵x∈(1,+∞),∴t∈(0,+∞),
∴f(t)=t2-2t-3,f′(t)=2t-2>-2,
若函數g(x)=f(lnx),x∈(1,+∞)上任意一點處的切線斜率恒大于a2-a-2,
則f′(t)>a2-a-2恒成立,即a2-a-2≤-2,
即a2-a≤0,解得0≤a≤1.
考點:1.二次函數的圖象和性質;2.導數的幾何意義.

練習冊系列答案
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