Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=PC，BC= AD=2，CD=4
（1）求證：直線PA∥平面QMB；
（2）若二面角P﹣AD﹣C為60°，求直線PB與平面QMB所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BQ，連接AC交BQ于點O，連接OM．

∵Q為AD的中點，BC= AD=2，

∴BC=DQ，又BC∥DQ，∠ADC=90°，

∴四邊形BCDQ是矩形．

∴BQ∥CD，又Q是AD的中點，∴點O是AC的中點．

又M是棱PC的中點，∴OM∥PA．

又AP平面QMB，OM平面QMB，

∴直線PA∥平面QMB

（2）解：∵Q為AD的中點，PA=PD，

∴PQ⊥AD，又BQ⊥AD，

∴∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．

∴∠PQB=60°，

∴PA=PD=PC，

∴點P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．．

∵△ADC為等腰直角三角形，∴O為△ADC的外心，

∴PO⊥平面ABCD．

在Rt△PQO中，∵∠PQO=60°．

∴PO=2 ．

過點O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

取B（0，2，0），Q（0，﹣2，0），P（0，0，2 ），C（﹣2，2，0）．

∵M是PC的中點，

∴M（﹣1，1， ）．

=（﹣1，﹣1， ）， =（0，﹣4，0）．

設平面QMB的法向量為 =（x，y，z）， ， ．

取 = ，

又 = ．

∴直線PB與平面QMB所成角的正弦值是： = = ．

∴直線PB與平面QMB所成角的余弦值為 ．

【解析】（1）連接BQ，連接AC交BQ于點O，連接OM．由已知可得四邊形BCDQ是矩形．由BQ∥CD，又Q是AD的中點，可得點O是AC的中點．又M是棱PC的中點，可得OM∥PA，即可證明直線PA∥平面QMB．（2）Q為AD的中點，PA=PD，PQ⊥AD，又BQ⊥AD，∠PQB是二面角P﹣AD﹣C的二面角的平面角．由PA=PD=PC，可得點P在平面ADC的射影是Rt△ACD的外心．O為△ADC的外心，可得PO⊥平面ABCD．過點O作Ox∥DA，以Ox、OB、OC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設平面QMB的法向量為 =（x，y，z）， ，可得 ，直線PB與平面QMB所成角的正弦值= ．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．