Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和“偽二次函數”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數g（x）在定義域內不可能總為增函數；
（2）在同一函數圖象上任意取不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點為C（x₀，y₀），記直線AB的斜率為k，
①對于二次函數f（x）=ax²+bx+c，求證：k=f′（x₀）；
②對于“偽二次函數”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同樣的性質？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）用導函數大于0在定義域內恒成立，結合二次不等式恒成立知不可能，據導數大于0函數單增，得證．
（2）①據兩點斜率公式求k，再據中的坐標公式和導數公式得f′（x₀），得證．
（2）②先假設有得到一個關于t的等式，構造函數，研究函數單調性求最小值，得等式不成立，故假設不成立．

解答：解：（1）如果x＞0，g（x）為增函數，則
g′（x）=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0(i)恒成立．
∴2ax²+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函數的性質，（ii）不可能恒成立
則函數g（x）不可能總為增函數．
（2）①對于二次函數：
k=

f(x2)-f(x1)

x2- x1

=

a(x22-x12)+b(x2-x1)

x2-x1

=2ax₀+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x₀）=2ax₀+b
即k=f′（x₀）
（2）②
不妨設x₂＞x₁，對于偽二次函數g（x）=ax²+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

f(x2)-f(x1)+cln x2 x1

x2-x1

如果有①的性質，則g′（x₀）=k
∴

cln x2 x1

x2-x1

=

c

x0

，c≠0
即∴

ln x2 x1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
令t=

x2

x1

，t＞1，則

lnt

t-1

=

2

t+1

設s（t）=lnt-

2t-2

t+1

，則s′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴s（t）在（1，+∞）上遞增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x₀）≠k∴“偽二次函數“g（x）=ax²+bx+clnx不具有①的性質．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的最值、兩點斜率、不等式恒成立問題、構造函數等．