Question

（1）下面圖形由單位正方形組成，請觀察圖1至圖4的規律，并依此規律，在橫線上方處畫出下一個適當的圖形；

（2）圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在如圖所示的四個三角形中，著色三角形的個數依次構成數列的前四項，依此著色方案繼續對三角形著色，求著色三角形的個數的通項公式b_n

（3）依照（1）中規律，繼續用單位正方形繪圖，記每個圖形中單位正方形的個數為a_n（n=1，2，3，…），設，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）在第一個圖形中，只有一層，一個小正方形；
在第二個圖形中，有兩層，從上至下分別為1個、2個小正方形；
在第三個圖形中，有三層，從上至下分別為1個、2個、3個小正方形；
由此歸納：第四個圖形中，有四層，從上至下分別為1個、2個、3個、4個小正方形．
因此答案如右圖所示：
（2）由圖形從左向右數著色的三角形的個數，發現后一個圖形中的著色三角形個數是前一個的3倍，
所以，所以{b_n}構成以1為首項，公比為3的等比數列，由此不難得到{b_n}的通項公式，
∴由等比數列的通項公式，可得著色三角形的個數的通項公式為：．
（3）由題意，可得a_n=1+2+3+4+…+n=，
∴，
所以 ．①
所以 ．②
①-②得 ．
所以-2S_n=．
即，其中n∈N₊
分析：（1）由前三個圖形小正方形的排列規律，不難得出第四個圖形有四層，從上至下分別為1個、2個、3個、4個小正方形．
（2）由圖形從左向右數著色的三角形的個數，發現后一個圖形中的著色三角形個數是前一個的3倍，所以{b_n}構成以1為首項，公比為3的等比數列，由此不難得到{b_n}的通項公式；
（3）根據（1）和（2）的結論，易得，發現{c_n}是一個等差數列和等數列的對應項相乘而得的一個新數列，接下來可用錯位相減法，來求它的前n項和S_n．
點評：本題以數列的通項與求和為載體，著重考查了歸納推理的一般方法，考查了學生的讀圖能力，屬于中檔題．