Question

（1）下面圖形由單位正方形組成，請觀察圖1至圖4的規律，并依此規律，在橫線上方處畫出下一個適當的圖形；

（2）圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形，在如圖所示的四個三角形中，著色三角形的個數依次構成數列的前四項，依此著色方案繼續對三角形著色，求著色三角形的個數的通項公式b_n

（3）依照（1）中規律，繼續用單位正方形繪圖，記每個圖形中單位正方形的個數為
a_n（n=1，2，3，…），設，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）在第一個圖形中，只有一層，一個小正方形；
在第二個圖形中，有兩層，從上至下分別為1個、2個小正方形；
在第三個圖形中，有三層，從上至下分別為1個、2個、3個小正方形；
由此歸納：第四個圖形中，有四層，從上至下分別為1個、2個、3個、4個小正方形．
因此答案如右圖所示：
（2）由圖形從左向右數著色的三角形的個數，發現后一個圖形中的著色三角形個數是前一個的3倍，所以，所以{b_n}構成以1為首項，公比為3的等比數列，由此不難得到{b_n}的通項公式，
∴由等比數列的通項公式，可得著色三角形的個數的通項公式為：．
（3）由題意，可得a_n=1+2+3+4+…+n=，
∴，
所以 ．①
所以 ．②
①﹣②得 ．
所以﹣2Sn=．即，其中n∈N+