Question

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）當有兩個極值點時，若的極大值小于整數，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）為上的減函數（2）3

【解析】分析：（1）求出函數的導數，法一、結合二次函數的圖象與性質判斷導函數的符號，求出函數的單調性即可；法二、令，則，結合函數的單調性求出的極大值，即可得到結論；

（2）令，則，根據函數的單調性得到有兩個實數根（），取出實數的取值范圍，進而求出的極大值，進而得出實數的取值范圍.

詳解：（1）由題.

方法1：由于，

又，所以，從而，

于是為上的減函數.

方法2：令，則，

當時，，為增函數；當時，，為減函數.

故在時取得極大值，也即為最大值.

則.由于，所以，

于是為上的減函數.

（2）令，則，

當時，，為增函數；當時，，為減函數.

當趨近于時，趨近于.

由于有兩個極值點，所以有兩個不等實根，

即有兩不等實根（）.

則解得.

可知，由于，，則.

而，即（#）

所以，于是，（*）

令，則（*）可變為，

可得，而，則有，

下面再說明對于任意，.

又由（#）得，把它代入（*）得，

所以當， 恒成立，

故為的減函數，所以.

所以滿足題意的整數的最小值為3.