Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點F作一條漸近的垂線，若垂足恰在線段OF（O為原點）的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

分析：先設垂足為D，根據雙曲線方程可求得其中一個漸近線和焦點F的坐標，進而得到D點坐標．表示直線DF的斜率與直線OD的斜率乘積為-1，進而得到a和b的關系，進而求得離心率．

解答：解：設垂足為D，
根據雙曲線方程可知其中一個漸近線為y=

b

a

x，焦點為F（

a2+b2

，0）
所以D點坐標（

a2+b2

2

，

b a2+b2

a

）
∴k_DF=

b a2+b2 a -0

a2+b2 2 - a2+b2

=-

b

a

∵OD⊥DF
∴k_DF•k_OD=-1
∴

b

a

=

a

b

，即a=b
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2

故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，解決的關鍵是熟練掌握雙曲線關于漸近線、焦點、標準方程等基本知識．