Question

已知n為自然數，實數a＞1，解關于x的不等式logax-4loga2x+12loga3x-…+n(-2)n-1loganx＞

1-(-2)n

3

loga(x2-a)．

Answer 1

分析：利用對數換底公式，原不等式左端化簡，對n是偶數，奇數分類解不等式，即可．

解答：解：利用對數換底公式，原不等式左端化為
log_ax-4•

logax

logaa2

+12•

logax

logaa3

++n（-2）^n-1•

logax

logaan

=[1-2+4++（-2）^n-1]log_ax
=

1-(-2)n

3

log_ax
故原不等式可化為

1-(-2)n

3

log_ax＞

1-(-2)n

3

log_a（x²-a）．①
當n為奇數時，

1-(-2)n

3

＞0，不等式①等價于
log_ax＞log_a（x²-a）．②
因為a＞1，②式等價于

x＞0 x2-a＞0 x＞x2-a

?

x＞0 |x＞ a x2-x-a＜0

?

x＞ a 1- 1+4a 2 ＜x＜ 1+ 1+4a 2

因為

1- 1+4a

2

＜0，

1+ 1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式②的解集為{x|

a

＜x＜

1+ 1+4a

2

}．
當n為偶數時，

1-(-2)n

3

＜0，不等式①等價于
log_ax＞log_a（x²-a）．③
因為a＞1，③式等價于

x＞0 x2-a＞0 x＜x2-a

?

x＞0 |x＞ a x2-x-a＞0

?

x＞ a x＜ 1- 1+4a 2

或

x＞ a x＞ 1+ 1+4a 2

因為

1- 1+4a

2

＜0，

1+ 1+4a

2

＞

4a

2

=

a

，
所以，不等式③的解集為{x|x＞

1+ 1+4a

2

}．
綜合得：當n為奇數時，原不等式的解集是{x|

a

＜x＜

1+ 1+4a

2

}；
當n為偶數時，原不等式的解集是{x|x＞

1+ 1+4a

2

}

點評：本題考查換底公式，對數的運算性質，對數不等式的解法，考查分類討論思想，是中檔題．