Question

若橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線互相垂直，則離心率等于

 

．

Answer 1

分析：不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得B₁（0，-b），B₂（0，b），取一個(gè)焦點(diǎn)F（c，0）．∵橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線互相垂直，可得b=c．進(jìn)而得到橢圓的離心率．

解答：解：不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得B₁（0，-b），B₂（0，b），取一個(gè)焦點(diǎn)F（c，0）．
∵橢圓短軸上的兩頂點(diǎn)與一焦點(diǎn)的連線互相垂直，∴b=c．
∴a=

b2+c2

=

2

c．
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．