Question

已知{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x∈R⁺|（x-6）sin

π

2

x=1}，則x₁+x₂+x₃+x₄的最小值為（　　）

Answer 1

分析：將“（x-6）•sin

π

2

x=1”兩邊同除以“x-6”，再分別判斷兩端函數的對稱中心，得到函數f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的對稱中心，再由對稱性求出x₁+x₂+x₃+x₄的最小值．

解答：解：由（x-6）•sin

π

2

x=1得，sin

π

2

x=

1

x-6

，則x＞0且x≠6，
∵y=sin

π

2

x是以4為周期的奇函數，
∴y=sin

π

2

x的對稱中心是（2k，0），k∈z，
∵y=

1

x-6

的圖象是由奇函數y=

1

x

向右平移6個單位得到，
∴y=

1

x-6

的對稱中心是（6，0），
∴函數f（x）=sin

π

2

x-

1

x-6

的對稱中心是（6，0），
∵{x₁，x₂，x₃，x₄}⊆{x|（x-6）•sin

π

2

x=1，x＞0}，
∴當x＞0時，最小值x₁和x₃、x₂和x₄關于（6，0）對稱，即x₁+x₃=12，x₂+x₄=12，
則x₁+x₂+x₃+x₄=24，
故選B．

點評：本題主要考查了利用函數的對稱性求出方程根之和的最值問題，關鍵是利用基本初等函數的對稱性進行判斷，相應復合函數的對稱性，難度較大．