Question

.（本小題滿分12分）將圓O: 上各點的縱坐標變為原來的一半 (橫坐標不變),

得到曲線C.(1) 求C的方程;(2) 設O為坐標原點, 過點的直線l與C交于A、B兩點, N為線段AB的中點,延長線段ON交C于點E.求證: 的充要條件是.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)略   

解析:

: (1)設點, 點M的坐標為,由題意可知………………(2分)

又∴.

所以, 點M的軌跡C的方程為.………………(4分)

(2)設點, , 點N的坐標為,

㈠當直線l與x軸重合時, 線段AB的中點N就是原點O,

不合題意,舍去; ………………(5分)

㈡設直線l:

由消去x,

得………①∴………………(6分)

∴,

∴點N的坐標為.………………(8分)

①若, 坐標為, 則點E的為, 由點E在曲線C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又∴.…(10分)

②若, 由①得∴

∴點N的坐標為, 射線ON方程為: ,

由  解得 ∴點E的坐標為

∴.綜上, 的充要條件是.……(12分)