Question

已知函數f（x）=2Acos²（

π

6

x+φ）-A（X∈R，A＞0，|φ|＜

π

2

），y=f（x）的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為（1，A）
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若點R的坐標為（1，0），∠PRQ=

2π

3

，求△PRQ的面積．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數f（x）的解析式為Acos（

π

3

x+2φ），由此求得函數的周期．再把點P（1，A）代入函數的解析式，可得cos（

π

3

+2φ）=1，結合 φ的范圍求得 φ的值．
（2）設點Q的坐標為（x₀，-A），求得得 x₀=4，在△PQR中，∠PRQ=

2π

3

，由余弦定理求得A的值，再由 S_△PRQ=

1

2

RP•RQ•sin

2π

3

=

1

2

•A•

9+A2

•sin

2π

3

，運算求得結果．

解答：解：（1）∵函數f（x）=2Acos²（

π

6

x+φ）-A=A[2cos²（

π

6

x+φ）-1）=Acos（

π

3

x+2φ），
故函數的周期為T=

2π

π 3

=6，
再由點P（1，A），可得 Acos（

π

3

+2φ）=A，cos（

π

3

+2φ）=1．

又因為|φ|＜

π

2

，所以 φ=-

π

6

．   …（6分）
（2）設點Q的坐標為（x₀，-A），由題意可知

π

3

x₀-

π

3

=π，得 x₀=4，所以Q（4，-A）．
連接PQ，則 PQ²=（4-1）²+（-A-A）²=9+4A²，
又因為 RP=A，RQ²=（4-1）²+（-A-0）²=9+A²，
在△PQR中，∠PRQ=

2π

3

，由余弦定理得 cos∠PRQ=

RP2+RQ2-PQ2

2RP•RQ

=

A2+9+A2-(9+4A2)

2A• 9+A2

=-

1

2

．
解得A²=3，∴A=

3

．
故S_△PRQ=

1

2

RP•RQ•sin

2π

3

=

1

2

•A•

9+A2

•sin

2π

3

=

1

2

×

3

×

12

×

3

2

=

3 3

2

． …（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的周期性及求法，余弦定理、二倍角公式，以及三角形的面積公式，屬于中檔題．