Question

已知拋物線方程x²=4y，過點（t，-4）作拋物線的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B．
（I）求證直線AB過定點（0，4）；
（II）求△OAB（O為坐標原點）面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出切點A，B的坐標，對拋物線方程求導，求得切線方程的斜率，則直線方程可得，把點（t，-4）代入直線方程聯立求得AB的直線方程，根據其方程推斷出直線過定點（0，4）
（Ⅱ）把（1）中直線AB的方程與拋物線方程聯立，消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂，進而利用三角形面積公式求得面積的表達式，根據t的范圍求得面積的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又y'=x，
則切線PA的方程為：y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x-y₁，
切線PB的方程為：y-y₂=（x-x₂）即y=x-y₂，
由（t，-4）是PA、PB交點可知：-4=x₁t-y₁，-4=x₂t-y₂，，
∴過A、B的直線方程為-4=tx-y，
即tx-y+4=0，所以直線AB：tx-y+4=0過定點（0，4）．

（Ⅱ）由，得x²-2tx-16=0．
則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-16，
因為S_△OAB=×4×|x₁-x₂|=2=2≥16，當且僅當t=0時，S_最小=16．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析問題和基本的運算能力．