Question

（本小題滿分14分）已知函數

（1）若在的圖象上橫坐標為的點處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

 （2）若在區間（-2，3）內有兩個不同的極值點，求a 取值范圍；

 （3）在（1）的條件下，是否存在實數m，使得函數的圖象與函數的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數m 的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a=1；（2）a的取值范圍為

   （3）存在的圖象恰有三個交點

【解析】本題主要考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根與函數的零點間的轉化．還考查了計算能力和綜合運用知識的能力．

（1）先求出函數的導數，再由f′（ ）=0求解a．

（2）將“f（x）在區間（-2，3）內有兩個不同的極值點”轉化為“方程f′（x）=0在區間（-2，3）內有兩個不同的實根”，用△＞0求解．

（3）在（1）的條件下，a=1，“要使函數f（x）與g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象恰有三個交點”即為“方程x²（x²-4x+1m）=0恰有三個不同的實根”．因為x=0是一個根，所以方程x²-4x+1-m=0應有兩個非零的不等實根，再用判別式求解．

解：（1）依題意，

                  

    …………………………3分

   （2）若在區間（—2，3）內有兩個不同的極值點，

    則方程在區間（—2，3）內有兩個不同的實根，

   

    但a=0時，無極值點，

    ∴a的取值范圍為

   （3）在（1）的條件下，a=1，要使函數的圖象恰有三個交點，等價于方程，

    即方程恰有三個不同的實根。

    =0是一個根，

    應使方程有兩個非零的不等實根，

    由      存在的圖象恰有三個交點。