Question

已知方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為1的等比數列，則mn=______．

Answer 1

∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0?x²-mx-8=0 ①或x²-nx-8=0 ②
設方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，則，x₁x₄=-8，x₁+x₄=m  x₂x₃=-8，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為 1的等比數列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數列的前四項，且x₁=1，x₄=-8，公比為-2，
∴x₂=-2，x₃=4，
∴m=x₁+x₄=1-8=-7，n=x₂+x₃=-2+4=2，
故則mn=-14．
故答案為：-14．