Question

已知方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成一個首項為的等比數列，則|m-n|=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程根與系數的關系和等比數列性質分析，四個根組成的首項為的等比數列的首項與末項的積等于第二項與第三項的積等于2，從而確定數列的每一項，再由兩根之和分別為m、n，即可求出結果．
解答：解：∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0?x²-mx+2=0 ①或x²-nx+2=0 ②
設方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，則，x₁x₄=2，x₁+x₄=m  x₂x₃=2，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx+2）（x²-nx+2）=0的四個根組成一個首項為的等比數列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數列的前四項，且x₁=，x₄==4，公比為2∴x₂=1，x₃=2
∴m=x₁+x₄=+4=，n=x₂+x₃=1+2=3
故|m-n|=|-3|=
點評：本題綜合考查了一元二次方程根與系數的關系和等比數列的性質，解題時要認真觀察，熟練運用性質