Question

(本題滿分15分)已知函數．

(Ⅰ)若無極值點，但其導函數有零點，求的值；

(Ⅱ)若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明的極小值小于．

Answer 1

解 (Ⅰ)首先，                                        ---------------1分

                              ---------------3分

有零點而無極值點，表明該零點左右同號，故，且的由此可得                               ----------------6分

（Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故.

解得：                                                ----------------8分

設的兩根為，不妨設，因為在區間上， ，而在區間上，，故是的極小值點.-------10分

因在區間上是減函數，如能證明則更有                                                                                           ---------------13分

由韋達定理，，

令其中設 ，利用導數容易證明當時單調遞減，而，因此，即的極小值                       -------15分

（Ⅱ）另證：實際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于.

由于兩個極值點是方程的兩個正根，所以反過來，

（用表示的關系式與此相同），這樣

即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.