Question

定義區間（c，d]，（c，d]，（c，d），[c，d]的長度均為d-c，其中d＞c．若a，b是實數，且a＞b，則滿足不等式

1

x-a

+

1

x-b

≥1的x構成的區間的長度之和為

 

．

Answer 1

分析：不等式即 

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，設 x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根為 x₁和x₂，則由求根公式可得這兩個根的值，結合數軸，用穿根法來解的不等式的解集，從而求得解集構成的區間的長度之和．

解答：解：∵

1

x-a

+

1

x-b

≥1，實數a＞b，∴

2x-(a+b)

(x-a)(x-b)

≥1，即 

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，
設x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0的根為 x₁和x₂，則由求根公式可得，
x₁=

(a+b+2) - (a-b)2+2

2

，x₂=

(a+b+2) + (a-b)2+2

2

，把不等式的根排在數軸上，
穿根得不等式的解集為（b，x₁）∪（a，x₂ ），故解集構成的區間的長度之和為 （x₁-b）+（x₂-a ）
=（x₁+x₂ ）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，
故選 D．

點評：本題考查其他不等式的解法，解題的關鍵是掌握用穿根法解分式不等式和高次不等式的技巧，本題中令分子為0，得出x₁和x₂與系數的關鍵對解本題尤其關鍵．本題考查數形結合的思想，是不等式求解中難度較大的題型