Question

設函數f（x）=x|x|+bx+c，給出四個命題：
①c=0時，有f（-x）=-f（x）成立；
②b=0，c＞0時，函數y=f（x）只有一個零點；
③y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④函數y=f（x）至多有兩個不同零點．
上述四個命題中所有正確的命題序號是

①②③

．

Answer 1

分析：將c=0代入，判斷f（-x）=-f（x）是否成立，可判斷①；將b=0代入分析函數的單調性及值域，可判斷②；根據函數的對稱變換，求出函數關于（0，c）對稱后的解析式，與原函數解析進行比較后，可判斷③；舉出反例b=-2，c=0時，函數有三個零點，可判斷④

解答：解：①當c=0時，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-（x|x|+bx）=-f（x），故①正確；
②f（x）=x|x|在R上為增函數，值域也為R，當b=0，c＞0時，f（x）=x|x|+c在R上遞增，值域也為R，有且只有一個零點，故②正確；
③由f（x）=x|x|+bx+c關于（0，c）對稱的函數解析式為2c-f（-x）=2c-（-x|x|-bx+c）=x|x|+bx+c，故③正確；
④當b=-2，c=0時，f（x）=x|x|-2x有-2，0，2三個零點，故④錯誤；
故所有正確的命題序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的奇偶性，零點，對稱性，熟練掌握函數的圖象和性質是解答的關鍵．