Question

實數x，y滿足

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是（　　）

• A．[2，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  26

  5

  ]
• C．[

  10

  3

  ，

  26

  5

  ]
• D．[1，

  10

  3

  ]

Answer 1

分析：本題主要考查線性規劃的基本知識，先畫出約束條件

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，的可行域，然后分析

y

x

的幾何意義，結合圖象，用數形結合的思想，最后利用基本不等式即可求解．

解答：解：滿足約束條件

x+2y-4+|x+2y-4|≤6 1≤x≤5 1≤y≤3

，的可行域，
如下圖所示：
又∵

y

x

表示的是可行域內一點與原點連線的斜率
當x=5，y=1時，

y

x

有最小值

1

5

，此時，u=

x2+y2

xy

=

y

x

+

1

y x

取得最大值

26

5

；
當x=1，y=3時，

y

x

有最大值3．
又u=

x2+y2

xy

=

y

x

+

1

y x

≥2，當且僅當

y

x

=1時取等號，
則u=

x2+y2

xy

的取值范圍是[2，

26

5

]．
故選B．

點評：平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．