Question

設正項等比數列{a_n}的首項，前n項和為S_n，且2¹⁰S₃₀－(2¹⁰＋1)S₂₀＋S₁₀＝0．

(1)求{a_n}的通項；

(2)求{nS_n}的前n項和T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0， 　　得210(S30－S20)＝S20－S10， 　　即210(a21＋a22＋…＋a30)＝a11＋a12＋…＋a20， 　　可得210·q10(a11＋a12＋…＋a20)＝a11＋a12＋…＋a20． 　　因為an＞0，所以210q10＝1．解得． 　　因而an＝a1qn－1＝，n＝1，2，…． 　　(2)因為{an}是首項，公比的等比數列，故， 　　． 　　則數列{nSn}的前n項和， 　　． 　　兩式相減，得 　　，即 　　． 　　思路分析：將已知關系式變形，提取公因式210，并且應用整體的觀點求出公比來．這樣，數列的通項就找到了．在求Tn時，首先找到新數列的通項，分成兩個部分分別求和，其中要用到錯位相減法．