Question

（2013•浙江二模）設正項等比數列{a_n}的首項a₁=

1

2

，前n項和為S_n，且-a₂，a₃，a₁成等差數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）求數列{nS_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差中項可得a₁-a₂=2a₃，再利用等比數列的通項公式即可得到a₁及q；
（II）利用等比數列的前n項和公式即可得到S_n，再利用“錯位相減法”即可得到數列{nS_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設設正項等比數列{a_n}的公比為q（q＞0），由題有a₁-a₂=2a₃，且a1=

1

2

，
∴a1-a1q=2a1q2，即有2q²+q-1=0，解得q=-1（舍去）或q=

1

2

，
∴an=

1

2n

；
（Ⅱ）因為是首項、公比都為

1

2

的等比數列，故Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

．
則數列{nS_n}的前n項和 Tn=(1+2+…+n)-(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

)．
前兩式相減，得  

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

，
即Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2．

點評：熟練掌握等差中項、等比數列的通項公式、等比數列的前n項和公式、“錯位相減法”是解題的關鍵．