Question

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是和．假設兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標，相互之間也沒有影響．
（1）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；
（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；
（3）假設某人連續2次未擊中目標，則停止射擊．問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；擊中目標的概率分別是和，射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式得到結果．
（2）兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次，表示相互獨立的兩個事件同時發生，寫出兩個事件的概率，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．
（3）乙恰好射擊5次后，被中止射擊，表示最后兩次射擊一定沒有射中，前三次射擊最多一次沒有射中，這幾個事件之間是相互獨立的，根據相互獨立事件同時發生的概率得到結果．
解答：解：（1）記“甲連續射擊4次，至少1次未擊中目標”為事件A₁，
由題意知兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，
射擊4次，相當于4次獨立重復試驗，
故P（A₁）=1-P（）=1-=．
即甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率為；
（2）記“甲射擊4次，恰好擊中目標2次”為事件A₂，
“乙射擊4次，恰好擊中目標3次”為事件B₂，
P（A₂）==，
P（B₂）==．
由于甲、乙設計相互獨立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=•=．
即兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為；
（3）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A₃，
“乙第i次射擊為擊中”為事件D_i，（i=1，2，3，4，5），
則A₃=D₅D₄（），且P（D_i）=，
由于各事件相互獨立，
故P（A₃）=P（D₅）P（D₄）P（）P（）=×××（1-×）=，
即乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是．
點評：本題考查排列組合問題的實際應用，考查相互獨立事件同時發生的概率，是一個綜合題，可以作為解答題出現在試卷上．