Question

設函數y=f（x）的定義域為D，若對于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點（a，b）為函數y=f（x）圖象的對稱中心．記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（a）=0．研究并利用函數f（x）=x³-3x²-sin（πx）的對稱中心，可得f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=

-8046

．

Answer 1

分析：函數（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），即x₁+x₂=2時，總有f（x₁）+f（x₂）=-4，再利用倒序相加，即可得到結論．

解答：解：∵f^''（x）=6x-6+π²sinπx
又∵f^''（1）=0
而f（x）+f（2-x）=x³-3x²-sinπx+（2-x）³-3（2-x）²-sin（2π-πx）
=-4
函數（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對稱中心的坐標為（1，-2），
即x₁+x₂=2時，總有f（x₁）+f（x₂）=-4
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)+f（

4023

2012

）+f（

4022

2012

）+…+f（

1

2012

）=-4×4023
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=8046
故答案為：-8046

點評：本題考查函數的對稱性，確定函數的對稱中心，利用倒序相加x₁+x₂=2，是解題的關鍵．