Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AB中點．
（1）求直線B₁C與DM所成角的余弦；　
（2）（文）求點M到平面DB₁C的距離；
（3）（理）求二面角M-B₁C-D的大小．

Answer 1

分析：（1）連接A₁D，由幾何體的結構特征可得：A₁D∥B₁，可得B₁C與DM所成角與A₁D與DM所成角相等，再利用解三角形的有關知識求出異面直線所成的角．
（2）設點M到平面DB₁C的距離為h，再根據等體積法即利用VB1-MCD=  VM-B1CD，求出點M到平面DB₁C的距離．
（3）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接MF，MG，由幾何體的結構特征可得：MF⊥B₁C，GF⊥B₁C，進而得到∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角，再利用解三角形的有關知識求出二面角的平面角．

解答：解：（1）連接A₁D，由幾何體的結構特征可得：A₁D∥B₁，

所以B₁C與DM所成角與A₁D與DM所成角相等．
連接A₁M，
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
所以A1D=2

2

，A1M=DM=

5

，
∴在△A₁MD中由余弦定理可得：cos∠A1DM=

A1D2+A1M2 -DM2

2•A1D•DM

=

10

5

∴直線B₁C與DE所成角的余弦值是

10

5

．
（2）設點M到平面DB₁C的距離為h，
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
所以CB₁=2

2

，
所以S△B1CD=

1

2

×CD×B1C=2

2

，S△CDM=

1

2

×CD×2=2，B₁到平面ABCD的距離為2，
又因為VB1-MCD=  VM-B1CD，即

1

3

×S△CDM×2 =

1

3

×S△B1CD×d，
所以h=

2

，
所以點M到平面DB₁C的距離為

2

．
（3）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連接MF，MG，
因為M為AB中點，
所以MC=MB₁，
所以MF⊥B₁C；
因為CD⊥B₁C，GF∥CD，
所以GF⊥B₁C，
所以∠MFG是二面角M-B₁C-D的平面角．
因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
所以在△MFG中，GF=1，MF=

3

，MG=

2

，
所以根據勾股定理可得△MFG是直角三角形，
所以 cos∠MFG=

FG

MF

=

3

3

，
所以二面角M-B₁C-D的大小為arccos

3

3

．

點評：本題主要考查點到平面的距離，解決此類問題一般利用等體積的方法求出答案，本題還考查的異面直線的夾角與二面角的平面角，解決空間角的關鍵是結合幾何體的結構特征與空間角的定義正確的作出空間角，求空間角的步驟是：①作角，②證明此角即為所求角，③利用解三角形的有關知識求角，此題屬于中檔題，考查學生的空間想象能力與推理論證的能力．