Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上。若右焦點F到直線x－y＋2＝0的距離為3。

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M、N。當|AM|＝|AN|時，求m的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據右焦點到直線x﹣y+=0的距離為3，利用點到直線的距離公式求出c，再由橢圓的一個頂點為A（0，﹣1），求出b，從而得到橢圓方程．（2）設A為弦MN的中點，由，得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0．利用根的判別式和韋達定理，結合題設能求出m的取值范圍．

解析：

(1) 設右焦點F（c，0），（c＞0），則，∴．∵橢圓的一個頂點為A（0，﹣1），∴b=1，a2=3，∴橢圓方程是．

（2）設P為弦MN的中點，由得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0．

由△＞0，得m2＜3k2+1 ①，

∴xP=，

從而yP=kxp+m=．

∴kBP=．

由MN⊥AP，得=﹣，

即2m=3k2+1②．

將②代入①，得2m＞m2，

解得0＜m＜2．由②得k2=＞0．

解得m＞．故所求m的取值范圍為（，2）．