Question

已知直角梯形，是邊上的中點（如圖甲），，，，將沿折到的位置，使,點在上，且（如圖乙）

（Ⅰ）求證：平面ABCD.

（Ⅱ）求二面角E−AC−D的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見詳解；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：先證，且，平面ABCD；根據幾何法或向量法求出二面角E−AC−D的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：在題圖中，由題意可知，

，ABCD為正方形，所以在圖中，，

四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

因為，且，

所以平面SAB，                （3分）

又平面SAB，所以，且，

所以平面ABCD.                 （6分）

（Ⅱ）解：方法一： 如圖，在AD上取一點O，使，連接EO．

因為，所以EO//SA ，                   （7分）

所以平面ABCD，過O作于H，連接EH，

則平面EOH，所以．

所以為二面角E−AC−D的平面角，                 （9分）

. 在Rt△AHO中，

.                   （11分）

所以二面角E−AC−D的余弦值為．                     （12分）

方法二：以A為原點建立空間直角坐標系，如圖，

，             （7分）

易知平面ACD的法向量為，

設平面EAC的法向量為，

，                     （9分）

由 所以 可取 

所以，                         （11分）

所以，

所以二面角E−AC−D的余弦值為．                     （12分）

考點：線面垂直，二面角．