Question

已知y=f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時f（x）=1-

1

x

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）試判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）要求函數(shù)的解析式，已知已有x＞0時的函數(shù)解析式，只要根據(jù)題意求出x＜0及x=0時的即可，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)容易得f（0）=0，而x＜0時，由-x＞0及f（-x）=-f（x）可求．
（2）結(jié)合函數(shù)y=

1

x

的單調(diào)性，直接判斷f（x）的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：（1）∵當(dāng)x＞0時，f（x）=1-

1

x

，
設(shè)x＜0則-x＞0
∴f（-x）=1+

1

x

由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得-f（-x）=f（x）
∴f（x）=-1-

1

x

即f（x）=-1-

1

x

，x＜0
∵f（0）=0
∴f（x）=

-1- 1 x ，x＜0 0，x=0 1- 1 x ，x＞0

（2）∵x＞0時，

1

x

是減函數(shù)，f（x）=1-

1

x

是增函數(shù)；x＜0時，

1

x

是減函數(shù)，f（x）=-1-

1

x

是增函數(shù)，
所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，0），（0，+∞）．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，解題中要注意函數(shù)的定義域是R，不用漏掉對x=0時的考慮．