Question

設F₁，F₂分別是橢圓E：x²+=1（0＜b＜1）的左、右焦點，過F₁的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直線l的斜率為1，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，再由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數列，能夠求出|AB|的值．
（2）L的方程式為y=x+c，其中，設A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），則A，B兩點坐標滿足方程組，化簡得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．然后結合題設條件和根與系數的關系能夠求出b的大小．
解答：解：（1）由橢圓定義知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，得
（2）L的方程式為y=x+c，其中
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B兩點坐標滿足方程組．，
化簡得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．
則．
因為直線AB的斜率為1，所以
即．
則．
解得．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其運用和直線與橢圓的位置關系，解題時要注意公式的靈活運用．