Question

如圖，幾何體ABCD中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分別為EB何AB的中點．
（1）求證：FD∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD；
（3）求二面角B-FC-G的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F、G分別為EB、AB的中點，知FG=EA，由EA、DC都垂直于面ABC，FG=DC，知四邊形FGCD為矩形，由此能夠證明FD∥面ABC．
（2）由AB=EA，且F為EB中點，知AF⊥EB，由FG∥EA，EA⊥面ABC，知FG⊥面ABC，從而推導出AF⊥面EBD，由此能夠證明AF⊥BD．
（3）由FG⊥GB，GC⊥GB，知GB⊥面GCF．過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，所以HB⊥FC，故∠GHB為二面角B-FC-G的平面角．由此能夠求出二面角B-FC-G的正切值．
解答：（1）證明：∵F、G分別為EB、AB的中點，
∴FG=EA，又∵EA、DC都垂直于面ABC，FG=DC，
∴四邊形FGCD為矩形，
∴FD∥GC，又∵GC?面ABC，
∴FD∥面ABC．
（2）證明：∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB  ①又FG∥EA，EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC．
∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②
由①、②知AF⊥面EBD，
又∵BD?面EBD，∴AF⊥BD．
（3）解：由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，
∴GB⊥面GCF．
過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC．
∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角．
∵EA=AB=2a，DC=a，F、G分別為EB何AB的中點，△ABC是正三角形，四邊形FGCD為矩形，
∴BG==a，CG=，CF=2a，
∴GH==，
∴tan∠GHB==．
點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正切值的求法．解題時要注意空間思維能力的培養．