Question

如圖，幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B₁C₁D₁∥面ABCD，BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，且，E為CC₁的中點，F為AB的中點．
（Ⅰ）求證：△DB₁E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角B₁-DE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知條件，在直角三角形DBB₁，B₁C₁E，DCE中分別求出DB₁，B₁E，DE的長度，由邊的關系能夠證出
△DB₁E為等腰直角三角形；
（Ⅱ）取DB₁的中點H，因為O，H分別為DB，DB₁的中點，所以OH∥BB₁，以OA，OB，OH分別為x，y，z軸建立坐標系，求出兩個平面DB₁E和DFE的法向量，根據二面角與其法向量所成角的關系求二面角B₁-DE-F的余弦值．
解答：（I）證明：連接BD，交AC于O，因為四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
因為BB₁、CC₁都垂直于面ABCD，∴BB₁∥CC₁，又面B₁C₁D₁∥面ABCD，∴BC∥B₁C₁
所以四邊形BCC₁B₁為平行四邊形，則B₁C₁=BC=a
因為BB₁、CC₁、DD₁都垂直于面ABCD，則，
所以
所以△DB₁E為等腰直角三角形；        
（II）解：取DB₁的中點H，因為O，H分別為DB，DB₁的中點，所以OH∥BB₁
以OA，OB，OH分別為x，y，z軸建立坐標系，
則
所以
設面DB₁E的法向量為，
則，即且
令z₁=1，則
設面DFE的法向量為，
則即且
令x₂=1，則
則=，則二面角B₁-DE-F的余弦值為．
點評：本題考查了三角形形狀的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓練了平面法向量的求法，利用兩個平面的法向量所成的角求解二面角時，要注意二面角和法向量所成角的關系，此題是中檔題．