Question

已知橢圓＝1(a＞b＞0)，直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且km＝－．

(1)求b的值；

(2)若直線AB經過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數k，是否存在a∈[2，＋∞)，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

設直線AB的方程為y＝kx＋n，代入橢圓方程得 　　，設，，， 　　則，∴，， 　　∴，又∴，∴ 　　(Ⅱ)設C(xC，yC)，直線AB的方程為y＝k(x－c)(k≠0)，代入橢圓方程， 　　得，若OACB是平行四邊形，則， 　　∴，， 　　∵C在橢圓上∴　∴， 　　∴，∴　∴， 　　∵，a∈[2，＋∞]，∴，∴且， 　　∴當且時，存在a∈[2，＋∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形； 　　當或時，不存在a∈[2，＋∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形．