Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標準方程；

(2)設直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常數λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：(1)設橢圓的半焦距為c，由題意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，

所以a＝2，c＝2.

又a²＝b²＋c²，因此b＝2.

故橢圓的標準方程為＝1.

由題意設等軸雙曲線的標準方程為＝1(m＞0)，因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，

所以m＝2，

因此雙曲線的標準方程為＝1.

(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

則k₁＝，k₂＝.

因為點P在雙曲線x²－y²＝4上，

所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，

即k₁·k₂＝1.

 (3)由于PF₁的方程為y＝k₁(x＋2)，將其代入橢圓方程得

(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，

顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.

由韋達定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

則，

又k₁·k₂＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．