Question

16．已知函數f（x）=cosx•tan（x+$\frac{π}{3}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域和最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據正切函數的性質可得x+$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，可得定義域．利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，可求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，函數f（x）=cosx•tan（x+$\frac{π}{3}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
根據正切函數的性質可得x+$\frac{π}{3}$≠$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
可得：x≠$\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z，
函數f（x）的定義域為{x∈R|x≠$\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z}．
將函數f（x）化簡可得：f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x$+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$$+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cso2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上時，
可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{4π}{3}$，$-\frac{π}{3}$]．
當2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值為-$\frac{1}{2}$．
當2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{4π}{3}$時，f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故得函數f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．