Question

等腰Rt△ACB，AB=2，．以直線AC為軸旋轉一周得到一個圓錐，D為圓錐底面一點，BD⊥CD，CH⊥AD于點H，M為AB中點，則當三棱錐C-HAM的體積最大時，CD的長為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，結合線面垂直的判定與性質，證出AB⊥平面CMH，從而AM是三棱錐C-HAM的高，得V_C-HAM=S_△CMH×AM，因此當S_△CMH達到最大值時，三棱錐C-HAM的體積最大．設∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等積轉換和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM關于θ的式子，從而得到S_△CMH=CH•HM=，最后根據基本不等式得當tanθ=時，S_△CMH達到最大值，根據同角三角函數的基本關系算出cosθ=，從而得出CD的長為，即為當三棱錐C-HAM的體積最大時CD的長．
解答：解：根據題意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱錐C-HAM的體積V=S_△CMH×AM=S_△CMH
由此可得，當S_△CMH達到最大值時，三棱錐C-HAM的體積最大
設∠BCD=θ，則Rt△BCD中，BC=AB=
可得CD=，BD=
Rt△ACD中，根據等積轉換得CH==
Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==
因此，S_△CMH=CH•HM==
∵4+2tan²θ≥4tanθ，
∴S_△CMH=≤=，
當且僅當tanθ=時，S_△CMH達到最大值，三棱錐C-HAM的體積同時達到最大值．
∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0
∴結合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=，可得cosθ=（舍負）
由此可得CD==，
即當三棱錐C-HAM的體積最大時，CD的長為
故選：C
點評：本題給出旋轉體中，求三棱錐的體積最大值時CD的長，著重考查了線面垂直的判定與性質、基本不等式求最值、相似三角形中比例線段的計算和同角三角函數基本關系等知識，屬于中檔題．