Question

（2013•大連一模）等腰Rt△ACB，AB=2，∠ACB=

π

2

．以直線AC為軸旋轉一周得到一個圓錐，D為圓錐底面一點，BD⊥CD，CH⊥AD于點H，M為AB中點，則當三棱錐C-HAM的體積最大時，CD的長為（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  2 5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  2 6

  3

Answer 1

分析：根據題意，結合線面垂直的判定與性質，證出AB⊥平面CMH，從而AM是三棱錐C-HAM的高，得V_C-HAM=

1

3

S_△CMH×AM，因此當S_△CMH達到最大值時，三棱錐C-HAM的體積最大．設∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等積轉換和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM關于θ的式子，從而得到S_△CMH=

1

2

CH•HM=

2 tanθ

4+2tan2θ

，最后根據基本不等式得當tanθ=

2

時，S_△CMH達到最大值，根據同角三角函數的基本關系算出cosθ=

3

3

，從而得出CD的長為

6

3

，即為當三棱錐C-HAM的體積最大時CD的長．

解答：解：根據題意，得
∵AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱錐C-HAM的體積V=

1

3

S_△CMH×AM=

1

3

S_△CMH
由此可得，當S_△CMH達到最大值時，三棱錐C-HAM的體積最大
設∠BCD=θ，則Rt△BCD中，BC=

2

2

AB=

2

可得CD=

2

cosθ，BD=

2

sinθ
Rt△ACD中，根據等積轉換得CH=

AC×CD

AD

=

2cosθ

2+2cos2θ

Rt△ABD∽Rt△AHM，得

HM

BD

=

AB

AD

，所以HM=

AB×BD

AD

=

2 sinθ

2+2cos2θ

因此，S_△CMH=

1

2

CH•HM=

2 sinθcosθ

2+2cos2θ

=

2 tanθ

4+2tan2θ

∵4+2tan²θ≥4

2

tanθ，
∴S_△CMH=

2 tanθ

4+2tan2θ

≤

2 tanθ

4 2 tan θ

=

1

4

，
當且僅當tanθ=

2

時，S_△CMH達到最大值，三棱錐C-HAM的體積同時達到最大值．
∵tanθ=

2

＞0，可得sinθ=

2

cosθ＞0
∴結合sin²θ+cos²θ=1，解出cos²θ=

1

3

，可得cosθ=

3

3

（舍負）
由此可得CD=

2

cosθ=

6

3

，
即當三棱錐C-HAM的體積最大時，CD的長為

6

3

故選：C

點評：本題給出旋轉體中，求三棱錐的體積最大值時CD的長，著重考查了線面垂直的判定與性質、基本不等式求最值、相似三角形中比例線段的計算和同角三角函數基本關系等知識，屬于中檔題．