Question

（2013•湛江一模）已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若f(α+

π

12

)=

1

3

(α∈(0，

π

2

))，求tanα的值．

Answer 1

分析：（1）由函數的最值，可得A=1．根據圖象函數算出最小正周期T=π，從而得到ω=2．最后根據當x=

π

12

時函數達到最大值，算出φ=

π

3

，即可得到函數f（x）的表達式；
（2）由（1）得f(α+

π

12

)=

1

3

即sin(2α+

π

2

)=

1

3

，由三角函數的誘導公式和二倍角的余弦公式，解出cos²α=

2

3

，sin²α=

1

3

，結合同角三角函數關系可得tan²α=

1

2

，最后結合α∈（0，

π

2

），解出tanα=

2

2

（舍負）．

解答：解：（1）根據題意，得
∵函數的最大值為1，最小值為-1，∴A=1
∵函數的最小正周期T，滿足

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

∴T=π，得

2π

ω

=π，解之得ω=2
∵當x=

π

12

時，函數達到最大值為1，
∴f（

π

12

）=sin（

π

6

+φ）=1，可得

π

6

+φ=

π

2

+2kπ（k∈Z）
∵|φ|＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

3

因此，函數f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（2）∵f（x）=sin（2x+

π

3

），
∴f(α+

π

12

)=sin(2α+

π

2

)=

1

3

，可得cos2α=

1

3

∵cos2α=cos²α-sin²α=

1

3

，cos²α+sin²α=1
∴cos²α=

2

3

，sin²α=

1

3

，可得tan²α=

sin2α

cos2α

=

1

2

∵α∈（0，

π

2

），∴tanα=

2

2

（舍負）

點評：本題給出三角函數的部分圖象，求函數的表達式并依此求特殊的三角函數的值，著重考查了根據y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．