Question

在某交通擁擠地段，交通管理部門規定，在此地段內的車距d（米）與車速v（千米/小時）的平方和車身長的積成正比，且最小車距不得小于半個車身長，假定車身長均為S（米），且當車速為50（千米/小時），車距恰好為車身長．問交通繁忙時，應規定怎樣的車速才能使此地的車流量最大（車流量即為1小時所通過的車輛數）？

Answer 1

分析：根據車距d是車速v（千米/小時）的平方與車身長S（米）之積的正比例函數，可假設函數解析式．利用車速為50千米/小時，車距恰為車身長．可求d關于v的解析式，從而可得車流量關于v的函數，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）∵車距d是車速V（公里/小時）的平方與車身長S（米）積的正比例函數，設d=KV²S，
∵V=50時，d=s，得s=K×50²×S，
∴K=

1

2500

，
∴d=

1

2500

V²S，又d=

1

2

S時，V=25

2

，
∴當0＜V≤25

2

時，車距d=車身長的一半，車流量Q=

2000V

3S

，∴Q_max=

50000 2

3S

當V＞25

2

時，車距d=

1

2500

V²S，車流量Q=

1000V

S(1+ V2 2500 )

=

1000

S( 1 V + V 2500 )

≤

25000

S

∵

25000

S

＞

50000 2

3S

∴V=50（公里/小時），即車速為50公里/小時時，才能使此地段的車流量最大．

點評：本題的考點是根據實際問題選擇函數類型．主要考查利用待定系數法求函數解析式，同時考查利用基本不等式求函數的最值，關鍵是將實際問題轉化為數學問題．