Question

已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且＝2，點M的軌跡為C．

(1)求曲線C的方程；

(2)過點D(0，－2)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，滿足＝＋(O為原點)，問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設M(x，y)是曲線C上任一點，因為PM⊥x軸，＝2，所以點P的坐標為(x，3y)

　　點P在橢圓上，所以，因此曲線C的方程是

　　(2)當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足條件

　　所以設直線l的方程為y＝kx－2與橢圓交于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，N點所在直線方程為

　　，

　　由，

　　因為＝＋，所以四邊形OANB為平行四邊形，

　　假設存在矩形OANB，則·＝0

　　即，

　　所以，

　　設N(x₀，y₀)，由＝＋，得

　　，即N點在直線，

　　所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為